为什么 0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004？

嗨！昨天我试着写点关于浮点数的东西，我发现自己对这个 64 位浮点数的计算方法很好奇：

“`

0.1 + 0.2
0.30000000000000004

“`

我意识到我并没有完全理解它是如何计算的。我的意思是，我知道浮点计算是不精确的，你不能精确地用二进制表示 0.1，但是：肯定有一个浮点数比 0.30000000000000004 更接近 0.3！那为什么答案是 0.30000000000000004 呢？

如果你不想阅读一大堆计算过程，那么简短的答案是： 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 + 0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125 正好位于两个浮点数之间，即 0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875 （通常打印为 0.3）和 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125（通常打印为 0.30000000000000004）。答案是 0.30000000000000004，因为它的尾数是偶数。

浮点加法是如何计算的

以下是浮点加法的简要计算原理：

把它们精确的数字加在一起
将结果四舍五入到最接近的浮点数

让我们用这些规则来计算 0.1 + 0.2。我昨天才刚了解浮点加法的计算原理，所以在这篇文章中我可能犯了一些错误，但最终我得到了期望的答案。

第一步：0.1 和 0.2 到底是多少

首先，让我们用 Python 计算 0.1 和 0.2 的 64 位浮点值。

“`

f”{0.1:.80f}”
‘0.10000000000000000555111512312578270211815834045410156250000000000000000000000000’
f”{0.2:.80f}”
‘0.20000000000000001110223024625156540423631668090820312500000000000000000000000000’

“`

这确实很精确：因为浮点数是二进制的，你也可以使用十进制来精确的表示。但有时你只是需要一大堆数字:)

第二步：相加

接下来，把它们加起来。我们可以将小数部分作为整数加起来得到确切的答案：

“`

1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 + 2000000000000000111022302462515654042363166809082031250
3000000000000000166533453693773481063544750213623046875

“`

所以这两个浮点数的和是 0.3000000000000000166533453693773481063544750213623046875。

但这并不是最终答案，因为它不是一个 64 位浮点数。

第三步：查找最接近的浮点数

现在，让我们看看接近 0.3 的浮点数。下面是最接近 0.3 的浮点数（它通常写为 0.3，尽管它不是确切值）：

“`

f”{0.3:.80f}”
‘0.29999999999999998889776975374843459576368331909179687500000000000000000000000000’

“`

我们可以通过 struct.pack 将 0.3 序列化为 8 字节来计算出它之后的下一个浮点数，加上 1，然后使用 struct.unpack：

“`

struct.pack(“!d”, 0.3)
b’?\xd3333333′

手动加 1

nextfloat = struct.unpack(“!d”, b’?\xd3333334′)[0]
nextfloat
0.30000000000000004
f”{next_float:.80f}”
‘0.30000000000000004440892098500626161694526672363281250000000000000000000000000000’

“`

当然，你也可以用 math.nextafter：

“`

math.nextafter(0.3, math.inf)
0.30000000000000004

“`

所以 0.3 附近的两个 64 位浮点数是 0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875 和 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125。

第四步：找出哪一个最接近

结果证明 0.3000000000000000166533453693773481063544750213623046875 正好在 0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875 和 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125 的中间。

你可以通过以下计算看到：

“`

(3000000000000000444089209850062616169452667236328125000 + 2999999999999999888977697537484345957636833190917968750) // 2 == 3000000000000000166533453693773481063544750213623046875
True

“`

所以它们都不是最接近的。

如何知道四舍五入到哪一个？

在浮点数的二进制表示中，有一个数字称为“尾数”。这种情况下（结果正好在两个连续的浮点数之间），它将四舍五入到偶数尾数的那个。

在本例中为 0.300000000000000044408920985006261616945266723632812500。

我们之前就见到了这个数字的尾数：

0.30000000000000004 是 struct.unpack('!d', b'?\xd3333334') 的结果
0.3 是 struct.unpack('!d', b'?\xd3333333') 的结果

0.30000000000000004 的大端十六进制表示的最后一位数字是 4，它的尾数是偶数（因为尾数在末尾）。

我们用二进制来算一下

之前我们都是使用十进制来计算的，这样读起来更直观。但是计算机并不会使用十进制，而是用 2 进制，所以我想知道它是如何计算的。